A gömb térfogata és felszíne már az általános iskolás tananyag részét képezi. Annál is inkább, hiszen a gimnáziumi felvételin nagyon gyakran jönnek elő a gömb térfogatával, és felszínével kapcsolatos feladatok, ahogy az érettségi vizsgán is. Éppen ezért nagyon fontos, hogy tisztában legyünk a gömb fogalmával, és a megfelelő számítási képletekkel.

Jelen cikket a Profifelkészítő.NET csapata írta. Ha szeretnél, iratkozz be online felületünkre!

A gömb fogalma

A gömb fogalmát kétféle módon is definiálhatjuk a matematikában.

Amennyiben tömör testként definiáljuk, a gömb azon pontok halmaza a térben, melyek egy adott r sugárnál nem nagyobb távolságra helyezkednek el a térben.

Amennyiben felületként definiáljuk, a gömb azon pontok halmaza a térben, melyek egy adott ponttól pontosan egy adott r távolságra találhatók.

Az adott pontot a gömb középpontjának nevezzük, az adott távolságot r-el jelöljük.

A gömb szokásos jelölései

  • A gömb középpontját O-val jelöljük
  • A gömb sugarát r-el vagy R-el jelöljük

A gömb térfogata

Adott r sugarú gömb térfogatát az alábbi módon számíthatjuk ki, ha a sugarat r-el jelöljük:

Ennek a képletnek a levezetése integrálással tehető meg, ami túlmutat a középiskolai (középszintű) tananyagon.

A gömb felszíne

A gömb felszínét A-val szokás jelölni, számítási képlete pedig a következő:

A gömbhöz kapcsolódó egyéb állítások

Ha egy gömböt elmetszünk egy síkkal, mindig körmetszetet kapunk.

A legnagyobb síkkal elmetszhető kör akkor keletkezik, ha a sík áthalad a kör középpontján.

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül.

Egy gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének.

A gömb forgástestként is értelmezhető.

A gömbhöz kapcsolódóan definiálható az ügynevezett gömbi geometria is.

Hol jön elő a való életben a gömb fogalma?

Íme, lássunk néhány olyan gyakorlatilas példát a való életből, ahol a gömb fogalma bizony előjön.

  • A labdajátékok alkalmával
  • Biliárdasztal
  • Lakásdekoráció (csillárok)
  • Gépészeti tervezés (gépelemek, csapágy alkatrészek)

Összefoglalás

A gömb már több évezrede foglalkoztatja a matematikusokat – már az ókori görögök is definiálták a gömböt, és számos állítást megfogalmaztak vele kapcsolatban. Ha szeretnéd, akkor iratkozz be online webináriumunkra!