A háromszög kerület-és területszámítása azon része az iskolai tananyagnak, amelyet mindenkinek ismernie kell. Az egyik leggyakorlatiasabb része a matematikának, és számtalan olyan példát lehetne felsorolni, ahol a való életben is megjelenik a háromszögekkel kapcsolatos terület és kerületszámítás. Gondoljunk csak arra az esetre, amikor egy útvonal hosszát szeretnénk megtippelni, vagy pedig egy háromszög alakú veteményes területére vagyunk kíváncsiak. Akik mérnöki szakokra jelentkeznek, azoknak a mindennapi munkájuk során is előjöhetnek a háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatok.

A cikket a Profifelkészítő.NET szakértői csapata írta. Ha szeretnél, akkor iratkozz be online tanulófelületünkre!

A háromszög fogalma

Először tisztázzuk le a háromszög fogalmát. A háromszög egy olyan geometriai alakzat, melynek három oldala, és három csúcsa van. Egy háromszög lehet általános háromszög, vagy pedig – a speciális eseteket vizsgálva – derékszögű, egyenlő oldalú vagy egyenlő szárú háromszög. Amennyiben a háromszög speciális, általában van egyszerűbb mód a számolásra.

Az általános háromszög területe és kerülete

Az általános háromszög területének és kerületének meghatározásával kezdjük, utána fogunk haladni a specifikusabb esetek felé. Érdemes megjegyezni, hogy ezek a képletek minden egyes háromszögre ugyanúgy alkalmazhatók, és érvényesek.

Egy tetszőleges háromszög területe megadható úgy, hogy az egyik tetszőleges oldalának hosszát összeszorozzuk az adott oldalhoz tartozó magassággal, és a kapott eredményt osztjuk kettővel.



Egy általános háromszög területe szintén kiszámítható a Hérón-képlettel.

Ebben a képletben s a háromszög félkerületét jelöli, mely képlettel így fest:

A koordinátarendszer fogalmát már lehet, hogy tanultad. Ez esetben azt is megteheted, hogy a háromszöget berakod egy derékszögű koordináta-rendszerbe. Jelölje a háromszög csúcspontjait a számpárok. A háromszög területszámítása az alábbi képlettel lehetséges:

Természetesen megadhatjuk az általános háromszög területét a beírt és körülírt körének függvényében. Amennyiben R jelöli a körülírt kör sugarát, r pedig a beírt kör sugarát, az alábbi képletek érvényesek:


Egy tetszőleges háromszög területe kiszámítható trigonometrikus úton is. Nincs más dolgunk, mint hogy két tetszőleges szomszédos oldal hosszát összeszorozzuk a bezárt szögük szinuszával. Az alábbi képletek használhatók és érvényesek:



Az általános háromszög kerülete egyszerűen úgy adható meg, hogy összeadjuk a határoló oldalak hosszát.

A derékszögű háromszög területe és kerülete

Egy derékszögű háromszög területét megadhatjuk úgy, hogy a két egymásra merőleges oldalát (befogóit) összeszorozzuk, és az eredményt kettővel elosztjuk. A helyes képet:

Egy derékszögű háromszög kerületének kiszámításakor használjuk ki azt a tényt, hogy az átfogó hossza megadható a befogók hosszának függvényében.



Az egyenlő szárú háromszög területe és kerülete kiszámítása

Egy egyenlőszárú háromszög szárainak közös végpontjából az alapra állított merőleges szakasz felezi a háromszög alapját. A magasság tehát viszonylag könnyen megadható az alap és a szárak függvényében, írjuk fel Pitagorasz tételét!



vagyis

A háromszög területe tehát


Az egyenlő szárú háromszög kerülete úgy adható meg, hogy összeadjuk az oldalait. Mivel két oldala egyenlő hosszúságú, ezért a helyes képlet:

A szabályos háromszög területe és kerülete

A szabályos háromszög területe négyzetesen arányos az oldal hosszal. A képlet az alábbi:

A kerületszámításkor használjuk ki azt a tényt, hogy az oldalak hossza egyenlő!

Összefoglalás

Ha a felvételin, érettségin jó eredményeket szeretnénk, vagy a gimnáziumi matek órákon a legjobb jegyekre hajtunk, akkor gyakorlatilag mindennel érdemes tisztában lennünk, ami itt, ebben a cikkben összefoglalásra került.

Szeretnél felkészülni az érettségi vizsgára, vagy a gimnáziumi felvételire? Esetleg a következő matematika dolgozatodra? Akkor iratkozz be internetes felkészítő tanfolyamainkra!