A kocka már általános iskola ötödik osztályában is számonkérés. A gimnáziumi felvételin, valamint az érettségin elég gyakran jönnek elő kockával kapcsolatos feladatok és számítások. Hogyan kell egy kockákból összerakott test térfogatát és felszínét kiszámolni? Egyáltalán, mi a kocka fogalma, meghatározása? Ezek gyakran felümerülő kérdések szoktak lenni.

A kocka fogalma, rövid bemutatása

A kocka egy olyan szabályos poliéder, melynek minden oldala négyzet. Ha nagyon egyszerűen szeretnénk fogalmazni, akkor mondhatnánk azt is, hogy a kocka egy olyan téglatest, melynek minden éle egyenlő. A kocka egy hasáb, szabályos test.

A kocka tulajdonságai

  • A kockának 8 csúcsa van
  • A kockának 12 azonos élhosszúságú éle van
  • A kockának 6 egybevágó lapja van
  • A kockának minden éle egyenlő
  • A kockának minden élszöge egyenlő
  • A kockának minden lapszöge egyenlő
  • Minden kockának van beírt gömbje
  • Minden kockának van köré írható gömbje

A kocka lapátlójának és testátlójának hossza

Szemléljük az alábbi ábrát! Jelöljük a kocka élhosszát a-val, a lapátló hosszát d-vel, a testátló hosszát D-vel. Ekkor az alábbi összefüggések írhatók fel a Pigatorasz-tételnek köszönhetően:

A kocka térfogata

A kocka térfogatát legegyszerűbben az oldalak szorzataként adhatjuk meg. A korábbi jelöléseket használva kijelenthető, hogy a kocka térfogata

ahol a természetesen a kocka oldalélét jelöli.

Szintén megadható egy kocka térfogata a lapátlójának vagy a testátlójának a hosszával. Lehetséges, hogy egy feladatmegoldás során nem ismerjük a kocka oldalhosszúságát, hanem csupán a lapátlóját vagy a testátlóját. Ekkor megtehetjük azt, hogy kiszámítjuk a kocka térfogatát, azonban az is megtehető – az eddigi jelöléseket használva – hogy az alábbi képleteket használjuk:


A kocka felszíne

A kocka felszínét ugyanúgy számíthatjuk ki, mint ahogy minden más poliéderét: a felületét határoló lapok területösszegét vesszük. Tekintve, hogy 6 négyzet határolja a kockát, ezért a felszín viszonylag könnyen megadható a hat négyzet területösszegeként:

Természetesen megeshet az is, hogy csupán a lapátló vagy a testátló hossza adott. Rövid egyenletrendezéssel kijön, hogy a felszín ezekkel kifejezve:


A kocka beírt és köré írható gömbjének a sugara

Mint korábban említettük – a felsorolt tulajdonságoknál – hogy minden kockának van beírt, és körülírt gömbje. Ezeknek a sugarát könnyedén kifejezhetjük az oldalhossz segítségével. Ha a beírt gömb sugara r és a köréírt gömb sugara R, akkor az alábbi összefüggések igazak:


Ezen felül meghatározhatjuk annak a gömbnek is a sugarát, ami a kocka éleit érinti. Fontos, hogy ezt a gömböt ne keverjük össze a beírható gömbbel, ami a lapokat érinti! Ennek a kockának a sugara:

A kocka szimmetrikus test?

Természetesen igen! Vágná rá mindenki. Hiszen a középpontja szimmetria középpont is egyben. Azonban kevesebben tudják, hogy kilenc szimmetriasíkja van a testnek. Ha pontokba szeretnénk szedni minden állítást a szimmetriára vonatkozóan, a kockának

  • egy szimmetriaközéppontja
  • kilenc szimmetriasíkja
  • három négyfogású forgástengelye
  • négy háromfogású forgástengelye
  • hat kétfogású forgástengelye

van. Habár egy középiskolásnak ezek közül elegendő mindössze az első kettőt ismernie.

Összefoglalás

A kocka az egyik esszenciális, középponti témája a matematika érettséginek, vagy a felvételinek. Éppen ezért tisztában kell lennünk a legtöbb számítási képlettek, és a kockára vonatkozó állításokkal. Ha szeretnél még több oktató anyagot olvasni, akkor nézz szét a blogunkon, vagy fizess elő online tudásbázisunkba!