A négyzet már általános iskola harmadik osztályában is fontos részét képzi az iskolai tananyagnak. Az érettségi vizsgán, valamint a gimnáziumi felvételin évről évre jönnek elő négyzettel kapcsolatos feladatok és számítások. Hogyan számítható ki a négyzet területe és kerülete? Mekkora a négyzet átlója az oldal hosszal kifejezve?

Jelen cikket a Profifelkészítő.NET csapata írta. Célunk, hogy minél több oktató tartalmat tárjunk azok elé, akik meg szeretnének ismerkedni a matematika világával, vagy szeretnének jobb eredményeket elérni a középiskolai tananyag elsajátításakor.

A négyzet fogalma

A négyzet egy olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge derékszög. A négyzet tulajdonképpen egy egyenlő oldalú téglalap, térbeli megfelelője a kocka.

Általában a-val jelöljük az oldalainak hosszát, és d-vel jelöljük az átlóinak hosszát. Szemléljük az alábbi ábrát.

A négyzet tulajdonságai

A négyzettel kapcsolatban számos állítás tehető. Lássunk ezek közül párat!

  • Minden oldala egyenlő
  • Szemközti oldalai párhuzamosak
  • Minden szöge derékszög
  • Átlói egyenlő hosszúak
  • Átlói felezik egymást
  • Átlói merőlegesek egymásra
  • Átlói szögfelezők is egyben
  • Középpontosan és tengelyesen szimmetrikus alakzat
  • Forgásszimmetrikus alakzat

A négyzet szimmetria középpontja az átlók metszéspontja, míg szimmetriatengelyei a szemközti oldalfelező pontjai által alkotott egyenes, valamint a szemközti csúcsai által alkotott egyenes.

A négyzet ráadásul forgásszimmetrikus alakzat is: az átlói körül k-szorosával elforgatva önmagába transzformálható, ha k egész szám.

A négyzetre ráillik gyakorlatilag az összes speciális négyszögekre megfogalmazható tulajdonság, tekintve, hogy egyben rombusz, paralelogramma, húrtrapéz, deltoid és téglalap is.

A négyzet területe

A négyet területét úgy határozhatjuk meg, hogy négyzetre emeljük annak oldalát. Ez képletszerűen így néz ki:

Természetesen előfordulhat az is, hogy nem a négyzet oldalhossza ismert, hanem annak átlói vagy kerülete. Ez esetben a helyes összefüggés a területre vonatkozóan:

A négyzet kerülete

Egy négyzet kerülete ugyanúgy számítható ki, mint bármely sokszög kerülete: össze kell adni annak oldalainak hosszát. Mivel minden oldala egyenlő hosszú, a képlet pofon egyszerű:

Természetesen lehetséges, hogy nem az oldalhosszt ismerjük, hanem az átló hosszát, vagy éppen a területet. Ez esetben a helyes számítási módok az alábbiak:


A négyzet átlójának hossza

Egy négyzet átlójának hossza könnyedén kiszámítható a Pithagorasz-tétellel. Amennyiben a négyzet oldalhossza a, akkor az átlóhossz

Egyéb érdekességek

Az euklideszi sík a szabályos sokszögek közül csak a szabályos háromszöggel, a négyzettel és a szabályos hatszöggel parkettázható ki hézagmentesen.

A köznyelv sokszor hibásan a kockát is négyzetnek nevezi, ez azonban matematikai szempontból hatalmas hiba – hiszen az egyik két dimenziós, a másik háromdimenziós alakzat.