A paralelogramma egy klasszikus iskolai tananyag, mely nem csupán a témazárón köszönhet vissza, hanem a középiskolai felvételin, és az érettségin is. Habár nem annyira nehéz témakör, érdemes tisztában lenni minden a paralelogrammát jellemző állítással, hiszen értékes pontokat veszíthetünk a számonkéréskor, ha nem tudjuk meghatározni például a paralelogramma területét és kerületét. Mik a paralelogramma tulajdonságai? Milyen állítások vonatkoznak a szögeire és az átlóira? Minden paralelogramma trapéz? Ilyen, és ehhez hasonló kérdésekre keressük a választ cikkünkben.

A paralelogramma fogalma

A paralelogramma egy olyan négyszög, melynek van 2-2 párhuzamos oldalpárja.

A paralelogramma tulajdonságai

A paralelogrammáról számos érdekes tulajdonság fogalmazható meg. Lássunk ezek közül párat!

  • Szemközti oldalai egyenlő hosszúak
  • Szemközti oldalai párhuzamosak
  • Átlói felezik egymást
  • Szemközti szögei egyenlő nagyságúak
  • Középpontosan szimmetrikus alakzat
  • Az egy oldalon fekvő szögei 180 fokra egészítik ki egymást
  • A két szemközti oldalának felezőpontját összekötő középvonal párhuzamos és egyenlő a másik két oldallal

A paralelogramma szimmetriaközéppontja az átlók metszéspontja.

A paralelogramma szokásos jelölései

A paralelogramma

  • oldalai rendszerint a és b-vel jelöltek
  • átlói rendszerint e és f-el jelöltek
  • magasságait az oldalaknak megfelelően és jelöli

Íme, egy ábra, mely szemlélteti mindezt.

A paralelogramma területe

Természetesen ennek a négyszögnek is sokféle módon lehet kiszámítani a területét és a kerületét. Lássunk ezekről egy párat!

A paralelogramma területe megkapható az alap és a magasság szorzataként. A korábbi jelöléseket használva

A paralelogramma területét meghatározhatjuk úgy is, hogy összeszorozzuk két oldalát, és a közbezárt szög szinuszát.

A paralelogramma területének egy szintén lehetséges meghatározási módja, hogy összeszorozzuk az átlóit és az általuk közre zárt szög szinuszát.


A paralelogramma kerülete

A paralelogramma kerülete ugyanúgy határozható meg mint ahogy minden egyes négyszögé: össze kell adni az oldalait. Jelen esetben kijelenthető, hogy a szemközti oldalai ugyanolyan hosszúak, így a helyes összefüggés az eddigi jelölésekkel az alábbi:

A paralelogramma speciális esetei

Természetesen ennek a négyszögnek is vannak speciális esetei. Lássuk, hogy mik ezek!

  • Ha egy paralelogramma minden oldala egyenlő, akkor rombusz is egyben.
  • Ha egy paralelogramma szögei derékszögek, akkor téglalap is egyben.
  • Ha egy paralelogramma szögei és oldalai is egyenlőek, akkor négyzet is egyben.

Érdekességek a paralelogrammáról

Matematikailag bizonyított tény, hogy bármely sík lefedhető egy adott paralelogrammával akár többféle képpen is.

A paralelepipedon egy olyan speciális test, melynek minden egyes oldala paralelogrammákból tevődik össze.

Már az ókorban is ismerték a fogalmát, az Euklideszi geometria egyik definiált síkidoma volt.

Próba feladatok

Íme, néhány próba feladat, amin érdemes lehet letesztelni a paralelogrammákkal kapcsolatos tudásunkat. Ezen feladatok természetesen nem csupán a cikkünkben írt tényeket és állításokat érintik, hanem az általános matematikai tudásunkat is.

I. feladat

Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak!


A,

A paralelogramma átlója szögfelező is.


B,

Ha egy négyszög két átlója egyenlő hosszú, akkor az a négyszög paralelogramma.


C,

Minden paralelogramma trapéz, de nem minden paralelogramma rombusz.


Megoldás. 

Az A, állítás hamis. Amennyiben a paralelogramma két szomszédos oldala nem egyenlő, akkor az átlója nem szögfelező. A B, állítás is hamis, csak és kizárólag abban az esetben igaz, ha felezik egymást az átlók. A C, állítás igaz, hiszen a paralelogrammának mindig van párhuzamos oldalpárja, azonban nem minden paralelogrammának egyenlőek az oldalai.

II. feladat

Egy paralelogramma átlóinak hossza 20 és 30 cm, bezárt szögük pedig 30 fok. Mennyi a területe?


Megoldás. Használjuk a jól ismert területszámító képletet! Amely szerint behelyettesítés után a végeredmény, a paralelogramma területe:

III. feladat

Egy paralelogramma oldalainak hossza rendre 10,20,30,20 egység. Számoljuk ki a kerületét!


Megoldás. Ez a feladat eleve hibás, hiszen nincs 2-2 egyenlő oldalpárja a négyszögnek. Ebből kifolyólag, és ennek köszönhetően a feladat értelmetlen.

Összefoglalás

A paralelogramma az egyik legfontosabb négyszög az elemei geometriában. Az érettségi, valamint felvételi vizsgákon rendszeresen találkozni fogunk olyan feladatokkal, melyek ehhez a négyszöghöz kapcsolódnak. Rengeteg embernek a napi munkája során is nagy szerepet játszik a geometriában megszerzett ismerete, például mérnököknek fontos lehet ez a fajta tudás.

Szeretnél felkészülni az érettségire, vagy a felvételire? Vagy csak szimplán jobb jegyeket kapni matekból? Akkor iratkozz be online oktató felületünkre, mely minden korosztály számára egyaránt tartalmaz felkészítő és gyakorló feladatokat