A rombusz esszenciális része már az általános iskolai tananyagnak is. Akár középiskolai felvételiről lenne szó, akár érettségiről, vagy a következő matematika témazáróról – mindenképp érdemes tisztában lenni a rombusz fogalmával, tulajdonságaival, hiszen rengeteg olyan feladat kerülhet elő, ami kapcsolódik a rombuszokhoz. Hogyan kell a rombusz területét és kerületét kiszámolni? Mik a rombusz tulajdonságai? Hogyan kell egy rombuszt megszerkeszteni? Cikkünkben ezekre a kérdésekre keressük a választ.

Jelen cikket a Profifelkészítő.NET csapata írta. Célunk, hogy minél több prémium minőségű edukáló, oktató tartalommal láthassuk el azon diákokat és tanulókat, akik szeretnének a matematikával megismerkedni.

A rombusz fogalma

A rombusz egy olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Az alábbi ábra egy rombuszt szemléltet.

A rombusz tulajdonságai

A rombusz legfontosabb tulajdonságait pontokba szedjük.

  • A rombusz átlói merőlegesek egymásra
  • A rombusz átlói felezik egymást
  • A rombusz szemközti szögei egyenlő nagyságúak
  • A rombusz középpontosan és tengelyesen szimmetrikus alakzat
  • A rombusz egy oldalon fekvő szögei 180 fokra egészítik ki egymást.
  • A középpontja körüli 180 fokos elforgatás saját magába képzi

Minden rombusz középpontosan szimmetrikus – az átlói metszéspontja ez a szimmetria középpont. Minden rombusznak minimum két darab szimmetriatengelye van, ezek az átlói.

A rombusz területe

A rombusz területe több féleképp is meghatározható – akár trigonometikus úton is. Lássuk az ide vonatkozó képleteket!

ahol „a” jelöli a rombusz alapját, „m” pedig annak a magasságát. Egy másik lehetséges meghatározási mód, ha ismerjük a rombusz átlóinak hosszát.

ahol e és f az egymásra merőleges átlókat jelöli. Egy harmadik lehetséges, praktikus számítási mód:

ahol „a” a rombusz oldala, míg a rombusz egyik tetszőleges szöge. Valójában mindegy, hogy melyik, hiszen a kiegészítő szögek szinusza mindig ugyanakkora.

A rombusz kerülete

A rombusz kerülete annak oldalainak összeadásával számítható ki. Ha a rombusz oldala „a” hosszúságú, akkor a kerülete

A rombusz szerkesztése

Hogyan kell egy rombuszt megszerkeszteni? Merül fel mindenkiben matematika órán ez a teljesen jogos kérdés. Először vegyünk fel egy tetszőleges szakaszt a síkon – legyen ez a rombusz egyik átlója. Ezt a szakaszt felezzük meg egy szakaszfelező merőlegessel, és a szakaszfelező metszéspontból rajzoljunk egy tetszőleges sugarú kört – annak a függvényében, hogy a másik átlót milyen hosszúra szeretnénk. Ekkor a kör és a szakaszfelező merőleges metszéspontjai adják majd meg a másik két csúcsát a négyszögnek. A szerkesztési ábrát alább tekinthetjük meg.

A rombusszal kapcsolatos legfontosabb képletek

Terület (átlókkal számolva)

Terület (oldalakkal és szögekkel számolva)

Kerület

Átló (egyik)

Átló (másik)

Beírt kör sugara


Ismétlő kérdések

Íme, lássunk néhány ismétlő tesztkérdést, hogy láthassuk: valóban tisztában vagyunk-e a rombuszhoz kapcsolódó állításokkal.

I. feladat

Döntsük el, hogy mely állítások igazak az alábbiak közül a rombuszokra!


A,

Minden rombusz tengelyesen szimmetrikus.


B,

Minden rombusz deltoid is egyben.


C,

Minden rombusz téglalap is egyben.


Megoldás. 

Az (A) állítás igaz, hiszen a rombusz átlója mindig szimmetria tengelye a rombusznak. A (B) állítás is igaz, hiszen a rombusz egy olyan deltoid, melynek oldalai egyenlő hosszúak. Azonban a (C) állítás nem igaz, hiszen nem minden rombusz téglalap.


II. feladat

Egy rombusz átlóinak hossza 9 és 5 centiméter. Számítsuk ki a területét és a kerületét.


Megoldás. 

A területét nagyon könnyű kiszámolni, hiszen ismert a képlet, ami a rombusz átlói, és annak a területe között teremt egy összefüggést:

A kerületét úgy tudjuk meghatározni, hogy kiszámítjuk az oldal hosszúságot. Mivel a rombusz átlói merőlegesek egymásra, ezért könnyedén használhatjuk a Pitagorasz-tételt. Jelöljük a rombusz oldalát „a”-val, ekkor fennáll az alábbi összefüggés:

Összefoglalás

A rombusz az egyik olyan négyszög, ami valóban gyakran előjön az érettségi vizsgákon és a felvételin. A számítási képletei rendkívül egyszerűek és logikusak. Szeretnél felkészülni a témazáró dolgozatodra? Esetleg az érettségire, felvételire? Akkor iratkozz be internetes tanfolyamunkra!