A téglalap területe, kerülete már általános iskolás tananyagnak számít. Ha valaki sikeres felvételit szeretne írni, vagy jó eredményt elérni az érettségi vizsgán, akkor a legelemibb dolgok közé tartoznak a téglalappal kapcsolatos számítások. Éppen ezért érdemes tisztában lennünk a téglalap fogalmával, valamint a megfelelő számítási példákkal.

Jelen cikket a Profifelkészítő.NET csapata írta. Célunk, hogy minél jobban hozzásegítsük a matematikával foglalkozó diákokat ahhoz, hogy a matematikát megszeressék, és megértsék.

Mi a téglalap?

A téglalap egy olyan négyszög, melynek minden szöge derékszög. Két-két szemközi oldala egyenlő hosszúságú. A négyzet egy speciális téglalap, melynek minden oldala egyenlő hosszúságú. Az alábbi ábra egy téglalapot szemléltet.

A téglalap tulajdonságai

Íme, foglaljuk össze a téglalap tulajdonságait röviden!

  • Minden szöge derékszög
  • Szemközti oldalai egyenlő hosszúak
  • Átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak
  • Középpontosan szimmetrikus alakzat, szimmetria középpontja az átlók metszéspontja
  • Tengelyesen szimmetrikus alakzat az oldalfelező merőlegesei mentén
  • Húrnégyszög, ugyanis a szemközti szögeinek összege 180 fok.

A téglalap szokásos jelölései

A téglalap csúcspontjait általában A,B,C,D nagybetűkkel, míg az oldalait a,b,c,d kisbetűkkel szokás jelölni. Az átlói jelölése rendszerint e,f, ahogy az ábra is szemlélteti.

A téglalap területe

A téglalap területe a két szomszédos oldalának szorzata. Ha képlettel szeretnénk kifejezni, akkor az alábbi összefüggést írhatnánk fel:

A téglalap kerülete

A téglalap kerülete – mint ahogy ez minden sokszögre igaz – az oldalai hosszának összege. Mivel a két szemközti oldala mindig egyenlő hosszúságú, ezért a két szomszédos oldalhosszának összegének a kétszerese. Képletszerűen az alábbi módon fejezhetjük ki:

A téglalap átlóinak hossza

A téglalap átlóinak hosszát az úgynevezett Pitagorasz-tétellel határozhatjuk meg, ugyanis a téglalap derékszögű négyszög. Ha egy téglalap átlóinak hosszát kérdezik, mindig elegendő csupán az egyiket meghatározni, ugyanis a két átlója egyenlő hosszúságú.

Mi az az arany téglalap?

Az arany téglalap egy olyan téglalap, melynek oldalaira teljesül az aranymetszés. Ez pontosan akkor igaz, ha


Ahol a és b természetesen a téglalap oldalait jelölik.


10 feladat a téglalapokhoz kapcsolódóan

Íme, lássunk 10 feladatot a téglalapokhoz kapcsolódóan.

1. feladat

Egy téglalap oldalainak hossza 10m és 3m. Számoljuk ki a területét és kerületét!

Megoldás. 

A feladat megoldása során használjuk a téglalap területére és kerületére vonatkozó képleteket.


2. feladat

Egy téglalap oldalainak hossza 8m és 2m. Mekkorák a téglalap átlói?

Megoldás. 

Használjuk a Pitagorasz-tételt a téglalap átlóhosszának meghatározására.

3. feladat

Egy szoba padlójának kicsempézéséhez téglalap alakú parkettára van szükség. A szoba területe 20 négyzetméter, míg egy csempének az oldalhosszúsága 10cm és 20cm. Egy csempe ára 200 Ft. Mennyibe fog kerülni a teljes parkettázás anyagköltsége?

Megoldás. 

A megoldás első lépéseként számoljuk ki egy csempe területét. Mivel a szoba területe négyzetméterben van megadva, célszerű nekünk is ebben megadna egy csempe területét.

Ahhoz, hogy a szükséges csempeszámot meghatározzuk, el kell osztani a teljes szoba területét egy csempe területével.

darab csempére lesz szükségünk a teljes művelethez.


4. feladat

Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak!


A,

Minden téglalap húrtrapéz.


B,

Minden téglalap rombusz.


C,

Minden téglalap négyzet.


D,

Minden téglalap téglatest.


Megoldás. 

Az (A) állítás igaz, hiszen minden téglalap trapéz, és húrnégyszög is egyben, azaz húrtrapéz. Nem minden téglalapnak egyenlő hosszúak az oldalai, vagyis nem mindegyik rombusz. Nem minden téglalap négyzet, mert ez csak akkor lenne igaz, ha minden téglalapnak minden oldala ugyanolyan hosszú lenne. A téglalapok nem téglatestek, hiszen az egyik egy síkidom, a másik egy test.


5. feladat

Egy téglalap átlóinak hossza 2m, bezárt szögük 60 fok. Mennyi a területe?


Megoldás. 

A megoldás során két tényt érdemes kihasználni. Az egyik, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást. A másik, hogy egy háromszög területe kiszámítható az egyik szöge és az azt közre záró szárai hosszának segítségével. Rajzoljuk fel az ábrát!

A GFP háromszög területe az alábbi módon számítható ki:

A GFI háromszögek területe ugyanannyi lesz, hiszen kiegészítő szöget szinuszáról van szó:

Így a teljes területe a téglalapnak:


6. Feladat

Adott egy téglalap, melynek oldalai 3m és 4m. Számítsuk ki a beírt körének sugarát!


Megoldás.

Ennek a téglalapnak nincs beírt köre, ugyanis a téglalapok közül egyedül a négyzetnek van beírt köre.


7. Feladat

Adott egy téglalap, melynek oldalai 4m és 5m hosszúak. Számítsuk ki a körülírt körének a sugarát és területét!


Megoldás. 

A téglalap körülírt körének sugara egyenlő az átló hosszának felével, hiszen a körülírt kör középpontja felezi az átlókat. A hosszt Pitagorasz-tétellel számolhatjuk ki.

A körülírt körének sugara a Pitagorasz-tétellel számolva: 1320.25.

8. feladat

Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek hamisak!


A,

Minden téglalap területe kiszámítható trigonometrikus úton.


B,

Minden téglalap területe kiszámítható csupán az átlóhosszának ismeretével.


C,

Minden téglalap deltoid.


Megoldás. 

A (B) és (C) állítások hamis állítások. Minden téglalap területe kiszámítható trigonometikus úton is, például az átlói által közbezárt szög és az átlóhossz ismeretében. Azonban ez utóbbi önmagában nem elegendő. A téglalapok nem deltoidok a négyzetet leszámítva.


9. feladat

Adott egy arany téglalap, melynek a rövidebb oldala 12 egység. Mennyi a téglalap másik oldala?


Megoldás.

Az arany téglalapok olyan téglalapok, melyek oldalaira fennáll az alábbi összefüggés:

Ezt az egyenletet kell megoldani azzal a megkötéssel, hogy vagy „a” értéke 12, vagy pedig „b” értéke. Vizsgáljuk meg mindkét esetet!


A, eset

Tegyük fel, hogy a=12. Ez esetben az egyenlet az alábbi alakot ölti:

Rendezzük az egyenletet nullára, ekkor az alábbi alakhoz jutunk majd:

Ennek az egyenletnek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint:

Egyik sem megfelelő, mert abból indult ki a feladat állítása, hogy 12 a rövidebb oldal.


B, eset

Tegyük fel, hogy b=12. Ez esetben az egyenlet az alábbi alakot ölti:

Rendezzük az egyenletet 0-ra!

Ennek az egyenletnek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint:


Az megoldás megfelelő. Tehát a feladat megoldása a (12,19.41) számpár.