A trapéz fogalma esszenciális részét képezi minden egyes iskolai tananyagnak – legyen szó akár általános iskolai tananyagról, vagy érettségiről. Ha jó jegyeket szeretnénk szerezni, akkor mindenképp fontos, hogy tisztában legyünk a legfőbb trapézokat érintő állításokkal. Hogyan számolható ki a trapéz területe és kerülete? Mit kell tudnia szimmetrikus vagy derékszögű trapézokról? Milyen állítások fogalmazhatók meg a trapéz magasságáról és szögeiről? A cikkünkben ezekre a kérdésekre keressük a választ.

Jelen cikket a Profifelkészítő.NET csapata írta. Célunk, hogy minél több olyan oktatóanyaggal lássuk el a matematika iránt érdeklődőket, akik tanulni szeretnének a matematikáról.

A trapéz definíciója, fogalma

A trapéz egy olyan négyszög, melynek van olyan oldalpárja, amely párhuzamos. Ezt az oldalpárt nevezzük a trapéz alapjainak, a másik két oldalt pedig száraknak. A trapéz átlói a szemközti csúcsokat összekötő szakaszok. A trapéz magassága nem más, mint a két párhuzamos oldal távolsága.

Amennyiben a négyszög másik két oldalpárja is párhuzamos, akkor paralelogramma. Amennyiben a négyszög minden oldala egyenlő, akkor a trapéz egyben rombusz is. A téglalapok és négyzetek mind trapézok, hiszen van párhuzamos oldalpárjuk.

A magyar szakirodalomban találkozni olyan helyekkel, ahol a trapézt úgy definiálják, mint egy négyszöget, melynek pontosan egy párhuzamos oldalpárja van – azonban ez a meghatározás pontatlan, hiszen egy négyzet is trapéznak számít.

A trapéz tulajdonságai

A trapézra is számos igaz állítás tehető. Ezek közül a legfontosabbak:

  • Az egy száron fekvő szögeinek összege 180 fok, azaz kiegészítő szögek összege
  • A belső szögeinek összege 360 fok, hiszen négyszög
  • Az átlói azonos arányban metszik egymást, és ez az arány az alapok arányával egyezik meg.
  • Minden trapéz konvex

A trapéz területe

Az érettségi vizsgán rendkívül sok olyan feladat van, ami a trapéz területéhez kapcsolódik. Jegyezzük meg hát az alábbi képletet, hiszen ez egy olyan összefüggés, melyet függvénytábla nélkül is „illik” tudni.

ahol a és c az alapok, míg m a trapéz magassága. Az alábbi ábrát vegyük segítségül!

A trapéz kerülete

Talán elsőre nem így gondolnánk, de annak ellenére, hogy a trapéz egy speciális négyszög, nincs semmilyen összefüggés, ami külön leírna a kerületét. Nincs más dolgunk, mint hogy összeadjuk az oldalainak hosszát egyesével, és így kapjuk meg a trapéz kerületét. Az eddigi jelölésrendszerrel tehát az alábbi alakot ölti majd az összefüggés,

ahol a,b,c,d természetesen a trapéz négy különböző oldalát jelölik.

A húrtrapéz

A húrtrapéz egy olyan trapéz, melynek van körülírt köre. Szokás még egyenlő szárú vagy szimmetrikus trapéznak is hívni.

A húrtrapéz tulajdonságai, egy rövid listában összefoglalva – természetesen a trapéz általános tulajdonságai felül:

  • Átlói egyenlő hosszúak
  • Szárai egyenlő hosszúak
  • Az azonos alapon fekvő szögei egyenlőek
  • Van körülírt köre
  • Van szimmetriatengelye

Az alábbi ábra egy húrtrapézt szemléltet, a körülírt körével együtt.

A derékszögű trapéz

A derékszögű trapéz definíciója – az eddigiek tükrében – roppant egyszerű: egy olyan trapéz, melynek van legalább egy derékszöge. Ezen felül kijelenthető, hogy egy derékszögű trapéznak mindig páros számú derékszöge van, hiszen a derékszöggel azonos száron levő szög – kiegészítő szög révén – szintén derékszög kell, hogy legyen. Amennyiben a trapéznak négy derékszöge is van, téglalapnak nevezzük.

Ismétlő kérdések, feladatok

Ismételjük át mindazt, amit a trapézról tanulunk! Mindezt mérjük fel néhány feladat formájában.


Feladat I.

Egy trapéz magassága 12 cm, alapjai pedig 10, illetve 15 cm. Mekkora a területe?


Megoldás. 

Használjuk a trapéz területszámító képletét. Helyettesítsük be a számokat!


Feladat II.

Döntsük el, hogy melyik állítások igazak az alábbiak közül!


A,

Minden trapéz négyszög.


B,

Minden trapéz téglalap.


C,

Minden téglalap trapéz.


D,

Minden trapéz rombusz.


Megoldás. 

Az (A) és (C) állítások természetesen igazak, hiszen minden trapéz négyszög, és minden téglalap is trapéz, hiszen minden téglalapnak van párhuzamos oldalpárja. Azonban nem minden trapéz téglalap, hiszen vannak trapézok, melyeknek csupán egy párhuzamos oldalpárja van, és nem is minden trapéz rombusz, ugyanebből az okból kifolyólag.